Question

甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知y=2 包括两种情况，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，根据变量的结果对应的事件做出两种情况的概率，这两种情况是互斥的，且每一种情况中包含的事件是相互独立事件，根据公式得到结果．
（2）由题意知随机变量的取值是0、1、2、3，根据不同变量对应的事件得到概率，写出分布列和期望，不同是一个必得分的题目．

解答：解：（1）由题意知y=2 包括两种情况，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，
∴P（y=2）=P（x=2，y=2）+P（x≠2，y=2）=

1

4

×

2

5

+

3

4

×

1

5

=

1

4

（2）随机变量X可取的值为0，1，2，3
当X=0时，（x，y）=（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）
∴P(X=0)=

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

=

2

5

当X=1时，（x，y）=（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P(X=1)=

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

=

8

10

同理可得P(X=2)=

1

5

；P(X=3)=

1

10

∴随机变量X的分布列为

∴EX=0×

2

5

+1×

3

10

+2×

1

5

+3×

1

10

=1

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道大题，文科考概率一般考查古典概型和几何概型．