Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1（n∈N），且a₁=1．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设bn=

1

an Sn

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜

3

2

（n∈N）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，从而

an+1

an

=

2n+1

2n-1

，由此能证明数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由a_n=2n-1，S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，得bn=

1

an Sn

=

2

2n(2n-1)

＜

2

2n(2n-2)

=

1

2n-2

-

1

2n

，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

3

2

（n∈N）．

解答： （1）证明：∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，①
∴n≥2时，4S_n-1=（2n-3）a_n+1，②
①-②，得4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，n≥2
∴（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，
∴

an+1

an

=

2n+1

2n-1

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

3

1

×

5

3

×…×

2n-1

2n-3

=2n-1，
∴a_n-a_n-1=（2n-1）-（2n-3）=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解：∵数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1，S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，
∴bn=

1

an Sn

=

1

(2n-1)n

=

2

2n(2n-1)

＜

2

2n(2n-2)

=

1

2n-2

-

1

2n

，n≥2
∴T_n＜（1+

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2n-2

-

1

2n

）
=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．
∴T_n＜

3

2

（n∈N）．

点评：本题考查数列{a_n}为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．