Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，起到函数为f′（x），且有xf′（x）＞x²+2f（x），则不等式4f（x+2015）-（x+2015）²f（-2）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，2017）
• B、（-2017，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：由xf′（x）＞x²+2f（x），（x＜0），
得：x²f′（x）-2xf（x）＜x³，
∵x＜0，
∴x³＜0，
即x²f′（x）-2xf（x）＜0，
设g（x）=

f(x)

x2

，
则g′（x）=

x2f(x)-2xf(x)

x4

＜0，
∴g（x）（-∞，0）上是减函数，
∴g（x+2015）=

f(2015)

20152

，g（-2）=

f(-2)

(-2)2

，
即不等式4f（x+2015）-（x+2015）²f（-2）＞0等价为g（x+2015）-g（-2）＞0，
∴x+2015＜-2，
即x＜-2017，
故选：A

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．