Question

设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）是（　　）

• A、偶函数，但不是周期函数
• B、偶函数，又是周期函数
• C、奇函数，但不是周期函数
• D、奇函数，又是周期函数

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数关系，结合奇函数和周期函数的定义进行判断即可．

解答： 解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（x），
即f（40+x）=-f（20+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
故选：D

点评：本题给出满足两个等式的抽象函数，求函数的周期性和奇偶性，着重考查了函数的定义和抽象函数的应用等知识．