Question

已知定义在R上的函数f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a为实常数）是奇函数g（x）=2（x-x²）
（Ⅰ）求a的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的t∈[-1，4]，不等式f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为实常数）都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质得f（0）=0，解出即可；设x₁＜x₂，依据奇函数的定义只需利用作差证明f（x₁）＞f（x₂）；
（Ⅱ）先根据f（x）为奇函数和减函数，化简得到2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，再分离参数，构造函数，根据二次函数的性质，求出h（t）的最大值，问题得以解决，

解答： 解：（Ⅰ）∵定义在R上的函数f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a为实常数）是奇函数，
∴f（0）=0，
即

-1+a

2+2

=0，
解得a=1，
∴f（x）=

-2x+1

2(2x+1)

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

+

1

2

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
（Ⅱ）∵f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为实常数）都成立，
∴f（g（t）-1）＜-f（8t+m）=f（-8t-m），
∴g（t）-1＞-8t-m，
∴2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，
∴m＞t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

在t∈[-1，4]恒成立，
设h（t）=t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

，
∴h（t）在∈[-1，4]为减函数，
∴h（t）_nax=h（-1）=1+9+1=11，
∴m＞11，
故m的取值范围为（11，+∞）

点评：本题考查了函数的奇偶性的性质和函数的单调性的证明，以及函数恒成立的问题，关键是分离参数，求出函数的最值，属于中档题