Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）当直线过点M（p，0）时，证明y₁．y₂为定值；
（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于过点M（p，0）与抛物线有两个交点，设l：x=my+p，与抛物线方程联立可得y²-2pm-2p²=0，利用根与系数的关系即可得出；
（2）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为yP=

1

2

(y1+y2)=pm，代入l：x=my+p可得P（pm²+p，pm）．由于l′与l互相垂直，将点P中的m用-

1

m

代，得Q(

p

m2

+p，-

p

m

)．再利用中点坐标公式可得N（x，y），

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m即可得出．

解答： （1）证明：过点M（p，0）与抛物线有两个交点，设l：x=my+p，联立

x=my+p y2=2px

得y²-2pm-2p²=0，∴y₁y₂=-2p²．．
（2）解：依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为yP=

1

2

(y1+y2)=pm，
代入l：x=my+p得xP=pm2+p，即P（pm²+p，pm）．
由于l′与l互相垂直，将点P中的m用-

1

m

代，得Q(

p

m2

+p，-

p

m

)．
设N（x，y），则

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m得y2=

p

2

(x-2p)，
由抛物线的定义知存在直线x=

15p

8

，点(

17p

8

，0)，点N到它们的距离相等．

点评：本题考查了抛物线的定义及其不知方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．