Question

设函数f（x）=

ex

x-a

的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为-

a3+6a2+12a+7

4

；
（Ⅲ） 当x≠a时，若不等式|

f′(x)

f(x)

|+k|x-a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；
（Ⅱ）根据导数的几何意义，令a+2=t，则有e^t+t³-1=0，构造函数，利用导数求出即可；
（Ⅲ）原不等式可化为|

x-a-1

x-a

|+k|x-a|≥1，在分类讨论，继而求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，a）∪（a，+∞），…（1分）
对f（x）求导得：f′(x)=

ex(x-a-1)

(x-a)2

，…（2分）
由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）
所以f（x）在（-∞，a），（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′(a+2)=

ea+2

4

…（6分）
令

ea+2

4

=-

a3+6a2+12a+7

4

得 e^a+2+a³+6a²+12a+7=0…①
令a+2=t，则有e^t+t³-1=0，…（8分）
令h（t）=e^t+t³-1，则h'（t）=e^t+3t²＞0，…（9分）
故h（t）是R上的增函数，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零点，即-2是方程①的唯一实数解，
故存在唯一实数a=-2满足题设条件．…（10分）
（Ⅲ）因为|

f′(x)

f(x)

|=|

x-a-1

x-a

|，故不等式|

f′(x)

f(x)

|+k|x-a|≥1可化为|

x-a-1

x-a

|+k|x-a|≥1，
令x-a=t，则t≠0，…（11分）   且有k|t|≥1-|1-

1

t

|…（12分）
①若t＜0，则-kt≥

1

t

，即k≥-

1

t2

，此时k≥0；
②若0＜t≤1，则kt≥2-

1

t

，即k≥

2

t

-

1

t2

=-(

1

t

-1)2+1，此时k≥1；
③若t＞1，则kt≥

1

t

，即k≥

1

t2

，此时k≥1．
故使不等式恒成立的k的取值范围是[1，+∞）．…（14分）

点评：本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，以及不等式恒成立的问题，培养了学生的转化能力，属于中档题