Question

17．如图所示，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证：
（1）PA•AB=PB•AD；
（2）$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{PD}{PB}$；
（3）AD•BC=AB•DC．

Answer 1

分析 （1）证明△PAD∽△PBA，可得$\frac{PA}{PB}=\frac{AD}{AB}$，即可证明PA•AB=PB•AD；
（2）利用$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$=$\frac{PB•PD}{P{B}^{2}}$=$\frac{PD}{PB}$，证明$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{PD}{PB}$；
（3）由问题（1）可知$\frac{AD}{AB}=\frac{PA}{PB}$，类似可证得$\frac{DC}{BC}=\frac{PC}{PB}$，即可证明AD•BC=AB•DC．

解答 证明：（1）∵PA是⊙O的切线，
∴∠ADP=∠BAP，
∵∠APD=∠BPA，
∴△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{AD}{AB}$
∴PA•AB=PB•AD；
（2）由问题（1）可知$\frac{AD}{AB}=\frac{PA}{PB}$，
∵PA²=PB•PD，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$=$\frac{PB•PD}{P{B}^{2}}$=$\frac{PD}{PB}$，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{PD}{PB}$；
（3）由问题（1）可知$\frac{AD}{AB}=\frac{PA}{PB}$，类似可证得$\frac{DC}{BC}=\frac{PC}{PB}$．
因PA=PC，故$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PB}$．因此有$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}$，∴AD•BC=AB•DC

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查圆幂定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．