Question

2．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的两底面为等腰三角形，直角边AB=AC=6，BC₁⊥AC，BC₁=2$\sqrt{6}$，侧棱CC₁与平面ABC₁成60°角．
（1）求证：平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）求BC与平面AA₁C₁C所成的角；
（3）求这个三棱柱的体积．

Answer 1

分析 （1）运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）设B到平面ACC₁的距离为h，运用线面垂直的性质和等积法，求得h，求得线面所成角的正弦即可；
（3）将该三棱柱，补成一个四棱柱，三棱柱的体积为四棱柱的一半．计算即可得到．

解答 解：（1）证明：由题意AC⊥AB，AC⊥BC₁，
即有AC⊥平面ABC₁，
AC?平面ABC，
则平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）设B到平面ACC₁的距离为h，
由AC⊥平面ABC₁，
可得侧棱CC₁与平面ABC₁成60°角，即为∠ACC₁=60°，
在直角三角形ACC1中，AC₁=6$\sqrt{3}$，CC₁=12，
在△ABC₁中，AB=6，BC₁=2$\sqrt{6}$，AC₁=6$\sqrt{3}$，
cos∠BAC₁=$\frac{36+36×3-24}{2×6×6\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3\sqrt{3}}$，
则${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=6$\sqrt{2}$，
由等积法，可得${V}_{B-AC{C}_{1}}$=${V}_{C-AB{C}_{1}}$，
即为$\frac{1}{3}$h•$\frac{1}{2}$•6•6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$•6•6$\sqrt{2}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
即有BC与平面AA₁C₁C所成的角的正弦为$\frac{h}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$•$\frac{1}{6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
则BC与平面AA₁C₁C所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{9}$'
（3）将该三棱柱，补成一个四棱柱，如图．
则三棱柱的体积为四棱柱的一半．
即有体积为$\frac{1}{2}$h•${S}_{AC{C}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$•6•6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{2}$．

点评 本题考查美梦成真的判定和线面所成角的求法、三棱柱的体积的求法，考查空间线面位置关系的运用，等积法，考查运算能力，属于中档题．