Question

2．已知函数f（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），且f（1-a）+f（2+b）=0，又x≥1时恒有0≤x²+ax+b≤x³-1，则a•b的值等于-2．

Answer 1

分析 先根据y=x³-1为增函数，求出y的最小值，得到a+b+1=0，即b+2=1-a，根据f（1-a）+f（2+b）=0，得到f（1-a）=0，代入求出a的值，再求出b的值，问题得以解决．

解答 解：∵x≥1时恒有0≤x²+ax+b≤x³-1，
∴a+b+1=0，
∴b+2=1-a，
∵f（1-a）+f（2+b）=0，
∴2f（1-a）=0，
∴f（1-a）=0，
∵f（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴log₂（1-a+$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$）=0，
∴1-a+$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$=1，
∴$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$=a，
∴（1-a）²+1=a²，
解得a=1，
∴b=-1-a=-2，
∴a•b=-2，
故答案为：-2

点评 本题考查了函数恒成立的问题，以及对数函数的性质，以及函数值的求法，属于中档题．