Question

4．已知直线l₁：2x+y+4=0，l₂：ax+4y+1=0．
（1）当l₁⊥l₂时，求l₁与l₂的交点坐标；
（2）当l₁∥l₂时，求l₁与l₂间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用直线垂直与斜率之间的关系可得a，进而得到直线的交点．
（2）利用平行与斜率之间的关系可得a，再利用平行线之间的距离公式即可得出．

解答 解：由2x+y+4=0，得y=-2x+4，所以直线l₁的斜率为k₁=-2；
同理求得直线l₂的斜率为${k_2}=-\frac{a}{4}$…（1分）
（1）当l₁⊥l₂时，k₁k₂=-1，∴$（-2）×（-\frac{a}{4}）=-1$，解得a=-2．
此时，l₂：-2x+4y+1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y+4=0，\;\;\\-2x+4y+1=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}，\;\;\\ y=-1.\end{array}\right.$
∴l₁与l₂的交点坐标为$（-\frac{3}{2}，-1）$…（5分）
（2）当l₁∥l₂时，k₁=k₂，∴$-2=-\frac{a}{4}$，解得a=8．
此时，l₂：8x+4y+1=0，l₁可化为8x+4y+16=0．
由两平行线间距离公式得l₁与l₂间的距离为$d=\frac{|16-1|}{{\sqrt{{8^2}+{4^2}}}}=\frac{15}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$…（10分）

点评 本题考查了直线平行垂直与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式、直线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．