Question

已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x=4上的射影依次为点D，K，E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；
（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．

Answer 1

（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线的焦点坐标（0，），∴b=
∴b²=3
∴a²=b²+c²=4
∴椭圆C：…（3分）
（2）证明：由题意，m≠0，，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴…（6分）
又由得：，
∴…（8分）
（3）解：m=0时，得N（，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0），
由（2）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）于是 D（4，y₁），E（4，y₂），
先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：
当x=时
所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．
即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0）…（13分）
分析：（1）由题设条件能够求出c、b=，从而求出椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合，即可证得结论；
（3）由题设条件证明点N（，0）在既直线AE上，又在直线BD上，即可得到结论．
点评：本题是椭圆的综合应用题，有一定的难度．考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线和直线之间的关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力．