Question

（2008•武汉模拟）已知P为椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线x2-

y2

2

=1的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么∠F₁PF₂的余弦值为

-

1

3

．

Answer 1

分析：由椭圆和双曲线方程，可知两条圆锥曲线共焦点，P为椭圆与双曲线的交点，根据椭圆与双曲线的定义，可求出P到
F₁，F₂距离，在三角形PF₁F₂中，应用余弦定理，就可求出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：∵椭圆

x2

4

+y2=1，∴椭圆中c=

3

，
∵双曲线x2-

y2

2

=1，∴双曲线中c=

3

，∴椭圆与双曲线共焦点，
∵P为椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线x2-

y2

2

=1的一个交点，不妨设P点在双曲线右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2

3

在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

32+12-(2 3 )2

2×3×1

=-

1

3

故答案为-

1

3

点评：本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和性质，以及焦点三角形中，余弦定理的考查，属于常规题．