Question

设x，y∈R，且满足

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，则x+y=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：先将原不等式组化为：

(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-2 (y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=2

，根据不等式构造函数f（t）=t³+2t+sint，根据函数的奇偶性的定义和导数符号判断出函数的奇偶性、单调性，再利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．

解答： 解：因为

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，所以

(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-2 (y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=2

设f（x）=x³+2x+sinx，x∈R，
所以f（-x）=-x³-2x-sinx=-f（x），则f（x）为奇函数，
又f'（x）=3x²+2+cosx＞0，即函数f（x）在R上单调递增，
由题意可知，f（x-2）=-2，f（y-2）=2，
所以f（x-2）+f（y-2）=2-2=0，
即f（x-2）=-f（y-2）=f（2-y），
因为函数f（t）单调递增，所以x-2=2-y，
即x+y=4，
古答案为：4．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，以及导数与函数性质的关系，利用条件构造函数f（x）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．