Question

设有两个命题：
（1）关于x的不等式sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R；
（2）函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数；若这两个命题都是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，由①易得，sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R表示m²+

m

2

-1小于sinxcosx的最小值恒成立，由②函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数，则底数7-3m＞1，如果两个命题都是真命题，则要求m同时满足两个条件，构造不等式组，解不等式组即可得到结果．

解答：解：不等式sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R；
即不等式2sinxcosx＞2m²+m-2的解集是R；
即sin2x＞2m²+m-2的解集是R；
即-1＞2m²+m-2恒成立，解得：-1＜m＜

1

2

函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数；
则7-3m＞1，解得：m＜2
若两个命题都是真命题
则-1＜m＜

1

2

点评：f（x）＞m恒成立，则m小于f（x）的最小值；
f（x）＜m恒成立，则m大于f（x）的最大值；
f（x）≥m恒成立，则m小于等于f（x）的最小值；
f（x）≤m恒成立，则m大于等于f（x）的最大值．