Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=4

2

．
（Ⅰ）求二面角A-BC-S的大小；
（Ⅱ）求直线AB与平面SBC所成角的大小．（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据二面角平面角的定义得到∠SCA为所求二面角的平面角，在三角形SCA中求出此角即可；
（Ⅱ）过A作AD⊥SC于D，连接BD，得到∠ABD为AB与平面SBC所成角，在Rt△ABC中，求出AB，在Rt△SAC中，求出SA、AD，再在△ABD中求出∠ABD即可．

解答：解：（Ⅰ）∵SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC．（2分）
AC为SC在平面ABC内的射影．（3分）
又AC⊥BC，∴BC⊥SC．（4分）
由BC⊥SC，又BC⊥AC，
∴∠SCA为所求二面角的平面角．（6分）
又∵SB=4

2

，BC=4，
∴SC=4．
∵AC=2，
∴∠SCA=60°．（9分）
即二面角A-BC-S大小为60°．
（Ⅱ）过A作AD⊥SC于D，连接BD，
由得平面BC⊥平面SAC，又BC?平面SBC，
∴平面SAC⊥平面SBC，且平面SAC∩平面SBC=SC，

∴AD⊥平面SBC．
∴BD为AB在平面SBC内的射影．
∴∠ABD为AB与平面SBC所成角．（11分）
在Rt△ABC中，AB=2

5

，
在Rt△SAC中，SA=

SC2-AC2

=2

3

，AD=

3

．
∴sinABD=

3

2 5

=

15

10

．（13分）
所以直线AB与平面SBC所成角的大小为arcsin

15

10

．（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面所成角，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．