Question

9．（1）某校夏令营有2名男同学和2名女同学，现从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）．设M为事件“选出的2人中有1名男同学和1名女同学”，求事件M发表的概率．
（2）已知函数f（x）=ax+$\frac{4}{x}$，从区间（-2，2）内任取一个实数a，设事件A={函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点}，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （1）利用列举法，结合古典概型的概率公式进行求解．
（2）求出函数在（0，+∞）上有两个不同零点的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：（1）设2名男同学用a，b表示，2名女同学用c，d表示．4名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：
{a，b}，{a，c}，{ a，c}，{b，c}，{b，d}，{c，d}共6种，
选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学的所有可能为{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}共4种，
则事件M发表的概率P=$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$…．
（2）∵函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点，
∴由f（x）-2=ax+$\frac{4}{x}$-2=0，即ax²-2x+4=0有两个不同的正根x₁，x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{a}＞0}\\{△=4-16a＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{a＞0}\\{a＞0}\\{a＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{4}$，
则对应的概率P（A）=$\frac{\frac{1}{4}}{4}$=$\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，利用相应的公式是解决本题的关键．