Question

3．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）画出f（x）的图象（无需列表），并写出函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若x∈[0，a]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$的解析式，可得函数的图象；数形结合，可得函数的单调递减区间；
（Ⅱ）数形结合，对a进行分类讨论，可得x∈[0，a]时f（x）的最大值的表达式．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$的图象如下图所示：

由图可得：函数的单调递减区间为（-∞，0]和[1，+∞）；
（Ⅱ）若x∈[0，a]，
当a∈（0，1）时，f（x）_max=-a²+2a，
当a∈[1，+∞）时，f（x）_max=1，
综上可得：f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}+2a，0＜a＜1\\ 1，a≥1\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，函数的单调区间与最值，难度中档．