Question

已知函数g（x）=alnx-x²+ax（a＞0），若y=g（x）在区间（0，2）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：求g′（x）=

-2x2+ax+a

x

，所以根据题意知g′（x）在（0，2）上的符号有正有负，结合二次函数图象即可求得a的取值范围．

解答： 解：g′（x）=

a

x

-2x+a=

-2x2+ax+a

x

；
∵g（x）在（0，2）上不单调；
若设f（x）=-2x²+ax+a，则f（x）在（0，2）上有正有负；
∴f（0）f（2）=a（-8+3a）＜0，或

f(0)=a＜0 f(2)=-8+3a＜0 0＜ a 4 ＜2 -8-a2 -8 ＞0

；
解得0＜a＜

8

3

；
∴a的取值范围为（0，

8

3

）．

点评：考查函数在一区间上不单调时该函数的导数的符号的情况，可结合二次函数图象找限制a的不等式．