Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=2
（1）求直线AC₁和A₁B₁所成角的大小；
（2）求直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：可以证明CA，CB，CC₁两两互相垂直．以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量知识解决．
（1）利用

AC1

，

A1B1

夹角求出直线AC₁和A₁B₁所成角的大小；
（2）求出平面ABB₁A₁ 的一个法向量，利用

AC1

与法向量夹角求出直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角

解答：解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，∴CC₁⊥平面 ABC，又AC⊥BC，故CA，CB，CC₁两两互相垂直．
如图，以C为原点，CA，CB，CC₁⊥两分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），A₁（2，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2）
∴

AC1

=（-2，0，2），

A1B1

=（-2，2，0），
∵cos＜

AC1

，

A1B1

＞=

AC1 • A1B1

| AC1|  | A1B1 |

=

4

2 2• 2 2

=

1

2

＜

AC1

，

A1B1

＞=60°．
∴直线AC₁和A₁B₁所成角的大小60°．
（2）设平面ABB₁A₁的一个法向量是

n

=（x，y，z）
则

n • A1B1 =0 n • AA1 =0

即

-2x+2y=0 2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0）
设直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角为θ，
∵sinθ=cos＜

AC1

，

n

＞=

| AC1 • n  |

|AC1|| n |

=

1

2

∴θ=30°，即直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角为30°

点评：本题考查异面直线夹角、二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具 可以降低思维难度，较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，立体感稍差一些的学生也可以顺利解出但需注意有关懂得点、向量坐标的准确性．