Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，
AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（I）求证：AF∥平面BCE；
（II）求二面角D﹣BC﹣E的正弦值．

Answer 1

证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∴AF平面BCE，BG平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，
则∠ENM为二面角D﹣BC﹣E的平面角
设AB=a，则AD=DE=2a，
所以BC=BD=a，AF=2a，CE=2a
由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD
∵BG⊥DE，CD∩DE=D，
∴BG⊥面CDE
由VB﹣CDE=VE﹣BCD，
可得EM=在△BCE中，，
∴EN=
设二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，
则sinθ=