Question

将杨辉三角中的每一个数C_n^r都换成

1

(n+1) C r n

，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

1

(n+1) C r n

+

1

(n+1) C x n

=

1

n C r n-1

，其中x=r+1，令an=

1

3

+

1

12

+

1

30

+

1

60

+…+

1

n C 2 n-1

+

1

(n+1) C 2 n

，则

lim

n→∞

an=

 

Answer 1

分析：通过观察可得

1

(n+1)• C 2 n

=

2

n•(n+1)•(n-1)

=

1

n

(

1

n-1

-

1

n+1

)=〔（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

）-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）〕+〔（

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

n+1

）-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）〕=1-

1

n

+

1

n+1

-

1

2

=

1

2

+

1

n+1

-

1

n

．进而可得

lim

n→∞

an．

解答：解：第一个空通过观察可得．

1

(n+1)• C 2 n

=

2

n•(n+1)•(n-1)

=

1

n

(

1

n-1

-

1

n+1

)
=

1

n

×

1

n-1

-

1

n

×

1

n+1

=

1

n-1

-

1

n

-

1

n

+

1

n+1

=

1

n-1

+

1

n+1

-

2

n

an=

1

3

+

1

12

+

1

30

+

1

60

++

1

n C 2 n-1

+

1

(n+1) C 2 n

=（1+

1

3

-1）+（

1

2

+

1

4

-

2

3

）+（

1

3

+

1

5

-

2

4

）+（

1

4

+

1

6

-

2

5

）+…+（

1

n-2

+

1

n

-

1

n-1

）+（

1

n-1

+

1

n+1

-

2

n

）
=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

）+（

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

n+1

）-2（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=〔（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

）-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）〕+〔（

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

n+1

）
-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）〕
=1-

1

n

+

1

n+1

-

1

2

=

1

2

+

1

n+1

-

1

n

所以

lim

n→∞

an=

1

2

．
答案：

1

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．