Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3

3

．

Answer 1

分析：根据△ABF₂是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°．在Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，可得

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，所以|AF₂|=2m，用勾股定理算出|F₁F₂|=

3

m，得到椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m，所以椭圆的离心率为e=

2c

2a

=

3

3

．

解答：解：∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=

1

2

×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，sin30°=

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=

|AF2|2-|AF1|2

=

3

m
因此，椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2c

2a

=

3

3

．
故答案为：

3

3

点评：本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．