Question

（本小题满分10分）

设数列满足：．

  （1）证明：对恒成立；

   (2)令，判断与的大小，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证明略

（2）

【解析】解：（1）证法一：当时，，不等式成立，

假设时，成立   （2分），

当时，．（5分）

时，时成立

综上由数学归纳法可知，  对一切正整数成立    （6分）

证法二：当时，，结论成立；

假设时结论成立，即（2分） 当时，

由函数的单增性和归纳假设有

（4分）,

因此只需证：，

而这等价于，

显然成立，所以当是，结论成立；

综上由数学归纳法可知，  对一切正整数成立    （6分）

证法三：由递推公式得，

     （2分）

上述各式相加并化简得

         （4分）

又时，显然成立，   故（6分）

   （2）解法一：（8分）

  （10分）

又显然，故成立      （12分）

解法二：

（由（1）的结论）（8分）

     （10分）

所以           （12分）

    解法三：      （8分）

      （10分）

      

故，因此                   （12分）