Question

如题图已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，△FAB是边长为2的等边三角形．
 （I）求椭圆C的方程；   
（II）设过点F的直线l交椭圆C于M、N两点，连接MO（O为坐标原点）并延长交椭圆C于点P，求△PMN的面积S_△PMN的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知及椭圆的标准方程及性质即可得出；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及三角形的面积公式、基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S_△PMN=2S_△OMN．
由（Ⅰ）可知：c=

22-12

=

3

，∴F(

3

，0)．
设直线l的方程为：x=my+

3

，联立得

x=my+ 3 x2+4y2=4

，消去x得到(4+m2)y2+2

3

my-1=0，
∴y1+y2=

-2 3 m

4+m2

，y1y2=

-1

4+m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 m2+1

m2+4

．
∴S△OMN=

1

2

|OF| |y1-y2|=

1

2

×

3

×

4 m2+1

m2+4

．
设t=

m2+1

∈[1，+∞)，则S△OMN=

2 3 t

t2+3

=

2 3

t+ 3 t

≤

2 3

2 t× 3 t

=1，当且仅当t=

3

时取等号．
∴S_△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．