Question

如图,已知椭圆C：(m＞0)，经过其右焦点F且以a=（1,1)为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点．

（1）求证：;

（2）求的值．

Answer 1

（1）证明:∵a²=m²,b²=m²,

∴c²=a²-b²=m².

∴F(m,0).

∵直线l过焦点F(m,0)且与向量a=(1,1)?平行,

∴直线l的方程为y=x-m.

将其代入椭圆C的方程，并整理可得8x²-10mx-m²=0.①

设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),M(x_M,y_M),N(x_N,y_N).

∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理,可得x_M==m,y_M=x_M-m=-m,

∴M(m,-m).

设N′为OM延长线上的点，且M为ON′的中点，则N′(m,-m)，且四边形OAN′B为平行四边形.

将N′的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得·(m)²+·(-m)²=m²,

∴N′点在椭圆C上,N′与N点重合.

∴四边形OANB为平行四边形,于是+=.

（2）解:∵·=x_Ax_B+y_Ay_B,

在方程①中由韦达定理，得x_Ax_B=-m²,

∴y_Ay_B=(x_A-m)(x_B-m)=x_Ax_B-m(x_A+x_B)+m²

=-m²-m²+m²

=-m².1

∴·=-m²-m²=-m².