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    如图，已知椭圆C：
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且
    F2B
    =λ
    AF2
    ．
    （1）求证：切线l的斜率为定值；
    （2）若动点T满足：
    ET
    =μ(
    EF1
    +
    EF2
    )，μ∈(0，
    1
    2
    )    ，且
    ET
    •
    OT
    的最小值为-
    5
    4
    ，求抛物线P的方程；
    （3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．
    分析：（1）由椭圆C：
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，知抛物线P：x2=4cy．设过F2的直线l的方程为y+c=kx，联立
    y+c=ky
    x2=4cy
    ，得x2-4kcx+4c2=0，利用韦达定理能证明切线l的斜率为定值．
    （2）设EO=t，由
    ET
    =μ(
    EF1
    +
    EF2
    )，μ∈(0，
    1
    2
    )    ，知T在线段EO上移动，故
    EO
    •
    OT
    =-|
    EO
    |•|
    OT
    |
    |
    EO
    |+|
    OT
    |=t
    ，由
    ET
    •
    OT
    的最小值为-
    5
    4
    ，得到t=
    		5
    ．由此能求出抛物线P的方程．
    （3）由直线l的方程为y=x-
    		5
    ．联立
    y=x-
    		5
    x2
    a2-5
    +
    y2
    a2
    =1
    ，得（2a2-5）x2-2
    		5
    （a2-5）x-（a2-5）2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
    2
    		5
    (a2-5)
    2a2-5
    ，x1x2=
    -(a2-5)2
    2a2-5
    ．当λ=2时，x1=-2x2．当λ=4时，x1=-4x2．由此能求出椭圆离心率e的取值范围．
    解答：（1）证明：∵椭圆C：
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），
    抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，
    ∴
    p
    2
    =c    ，∴抛物线P：x2=4cy．
    设过F2的直线l的方程为y+c=kx，
    联立
    y+c=ky
    x2=4cy
    ，得x2-4kcx+4c2=0，
    ∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
    ∴
    △=16k2c2-16c2=0
    k＞0
    ，
    解得k=1．
    故切线l的斜率k为定值1．
    （2）设EO=t，∵
    ET
    =μ(
    EF1
    +
    EF2
    )，μ∈(0，
    1
    2
    )    ，
    ∴T在线段EO上移动，
    ∴
    ET
    •
    OT
    =-|
    ET
    |•|
    OT
    |
    |
    ET
    |+|
    OT
    |=t
    ，
    ∵
    ET
    •
    OT
    的最小值为-
    5
    4
    ，
    ∴当|
    ET
    |=|
    OT
    |=
    t
    2
    时，
    ET
    •
    OT
    的最小值=-
    t2
    4
    =-
    5
    4
    ，
    ∴t=
    		5
    ．
    ∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
    ∴由（1）知k=1，抛物线在E点处的导数，得E（p，
    p
    2
    ），
    由t2=P2+（
    p
    2
    ）2=5，解得P=2，所以抛物线方程为，
    ∴抛物线P的方程为x2=4y．
    （3）由（2）得c=
    		5
    ，
    ∵直线l的斜率k=1，∴直线l的方程为y=x-
    		5
    ．
    联立
    y=x-
    		5
    x2
    a2-5
    +
    y2
    a2
    =1
    ，得（2a2-5）x2-2
    		5
    （a2-5）x-（a2-5）2=0，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
    2
    		5
    (a2-5)
    2a2-5
    ，x1x2=
    -(a2-5)2
    2a2-5
    ．
    ∵直线l与椭圆C相交于A、B两点，且
    F2B
    =λ
    AF2
    ，λ∈[2，4]，
    ∴当λ=2时，x1=-2x2．
    ∴x1+x2=
    2
    		5
    (a2-5)
    2a2-5
    =-x2，x1x2=
    -(a2-5)2
    2a2-5
    =-2x22．
    ∴
    -(a2-5)2
    2a2-5
    =-2•
    20(a2-5)2
    (2a2-5)2
    ，解得a=
    3
    		10
    2
    ，e=
    		5
    3
    		10
    2
    =
    		2
    3
    ．
    当λ=4时，x1=-4x2．
    ∴x1+x2=
    2
    		5
    (a2-5)
    2a2-5
    =-3x2，x1x2=
    -(a2-5)2
    2a2-5
    =-4x22．
    ∴
    -(a2-5)2
    2a2-5
    =-4•
    1
    9
    •
    20(a2-5)2
    (2a2-5)2
    ，解得a=
    5
    		10
    6
    ，e=
    		5
    5
    		10
    6
    =
    3
    		2
    5
    ．
    ∴椭圆离心率e的取值范围是[
    		2
    3
    ，
    3
    		2
    5
    ]．
    点评：本题考查切线斜率为定值的求法，考查抛物线方程的求法，考查椭圆离心率取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆C1：
    x2
    4
    +y2=1和C2：
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1的离心率为
    		3
    2
    ，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程：
    （Ⅱ）若S△PMN=
    3
    2
    ，求直线AB的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    36
    +
    y2
    20
    =1的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
    （1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
    （2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		3
    2
    ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求
    TM
    •
    TN
    的最小值，并求此时圆T的方程；
    （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x2+y2+x-3y-2=0．
    （1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
    （2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
    （3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转
    π
    4
    得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

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