Question

如图，已知椭圆C：

x2

36

+

y2

20

=1的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）要证AM⊥MF，只需证

MA

•

MF

=0，分别求出

MA

，

MF

的坐标，利用数量积的坐标运算计算即可．
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．

解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），由准线l：x=

a2

c

=9，∴x_N=9，∴xM=

3

2

．
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=

5 3

2

，
∴

MA

=(-

15

2

，-

5 3

2

)，

MF

=(

5

2

，-

5 3

2

)．
∴

MA

•

MF

=-

75

4

+

75

4

=0．
∴AM⊥MF；
（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，有

36-6D+F=0 16+4D+F=0 81+t2+9D+tE+F=0

，
解得，D=2，E=-t-

75

t

，F=-24．
∴圆心为(-1，

1

2

(t+

75

t

))，半径r=

25+ 1 4 (t+ 75 t )2

．
∴|PQ|=2

r2-1

=2

24+(t+ 75 t )2

．
∵t＞0，∴t+

75

t

≥2

t• 75 t

=10

3

，当且仅当t=

75

t

，即当t=5

3

时取“=”．
∴|PQ|的最小值是2

99

=6

11

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了利用基本不等式求最值，属难题．