Question

（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且

AP

•

AQ

=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切，根据点到直线的距离公式，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-

1

k

x+1(k≠0)，分别与椭圆C的方程联立，求得P、Q的坐标，可得直线l的方程，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：将圆M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径r=

3

由A（0，1），F（c，0）（c=

a2-1

），得直线AF：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0，
由直线AF与圆M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，∴c²=2
∴a²=c²+1=3，∴椭圆C的方程为C：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）证明：∵

AP

•

AQ

=0，∴AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-

1

k

x+1(k≠0)
将y=kx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或x=-

6k

1+3k2

，因此P的坐标为（-

6k

1+3k2

，-

6k2

1+3k2

+1），
即P（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

）
将上式中的k换成-

1

k

，得Q（

6k

3+k2

，

k2-3

k2+3

）
∴直线l的斜率为

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k 3+k2 + 6k 1+3k2

=

k2-1

4k

直线l的方程为y=

k2-1

4k

（x-

6k

3+k2

）+

k2-3

k2+3

化简得直线l的方程为y=

k2-1

4k

x-

1

2

，因此直线l过定点N（0，-

1

2

）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．