Question

“-1＜a＜1”是“函数f（x）=x³-3x在区间（a-2，a）上有最大值”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用导数求出函数f（x）=x³-3x在区间（a-2，a）上有最大值的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：函数f（x）=x³-3x的导数为f'（x）=3x²-3=3（x²-1），
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
所以当x=-1时，函数取得极大值，此时极大值为f（-1）=-1+3=2．
当x=1时，函数取得极小值．
当f（x）=2时，由x³-3x=2，即x³-3x-2=0，解得x=2或x=-1，
要使函数f（x）在开区间内存在最大值，
则满足

a-2＜-1 -1＜a≤2

，即

a＜1 -1＜a≤2

，解得-1＜a＜1．
故“-1＜a＜1”是“函数f（x）=x³-3x在区间（a-2，a）上有最大值”的充要条件．
故选C．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，利用导数求出函数的极值，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强．