Question

（2009•武汉模拟）在实数范围内，条件且p：a，b∈（0，1）a+b=1是条件q：ax²+by²≥（ax+by）²成立的（　　）

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不是充分又不是必要条件

Answer 1

分析：可证明充分性成立，由于（x-y）²≥0，所以ab（x²+y²-2xy）≥0，令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1），则abx²+bay²-2abxy≥0，代入可得a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0，从而有ax²+by²≥（ax+by）²，但其必要性由于不步步可逆，故不成立，从而得结论．

解答：解：由题意，∵（x-y）²≥0
∴ab（x²+y²-2xy）≥0
令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1）
则abx²+bay²-2abxy≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
∴（ax²-a²x²）+（by²-b²y²）-2abxy≥0
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴ax²+by²≥（ax+by）²，
反之，∵ax²+by²≥（ax+by）²，
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
 可令1-a=b，1-b=a，但不一定有a，b∈（0，1）
 故选A．

点评：本题以不等式为载体，考查四种条件，有一定的技巧，易错点是不必要性的判断．