Question

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．
（Ⅰ）若a_n=-|n-7|，则{a_n}的峰值为

0

；
（Ⅱ）若an=

n2-tn，  n≤2 -tn+4，  n＞2

且{a_n}存在峰值，则实数t的取值范围是

（0，3）

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据峰值的定义，可得a_n=-|n-7|，求出数列函数的单调性求出最值，从而求解；
（Ⅱ）已知an=

n2-tn，  n≤2 -tn+4，  n＞2

且{a_n}存在峰值，还是求出数列函数的单调性，再进行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），
则称a_k为{a_n}的一个峰值，即是数列中的最大值，
a_n=-|n-7|≤0，最大值就是0，可得n=7时，a_n=0，当n＞7或n＜7都有a_n＜0，
∴{a_n}的峰值为0；
（Ⅱ）当n≤2时，有f（n）=a_n=n²-tn=（n-

t

2

）²-

t2

4

，开口向上，对称轴为

t

2

，
在n≤

t

2

时，f（n）为增函数，
当n＞2，g（n）=a_n=-tn+4，是减函数，但是一个一个的孤立点，
因为{a_n}存在峰值，说明n=2处取得，说明-t必须小于0，可得，
-t＜0，可得t＞0，说明n=2处取得最大值，
n=2，f（2）=4-2t，
根据峰值的定义可得，

a1＜a2 g(1)＜g(2)

，
可得

1-t＜4-2t -t+4＜-2t+4

，
解得0＜t＜3
故答案为：0，0＜t＜3；

点评：此题是一道新定义题，主要考查数列的函数的特性，是一道中档题，考查的知识点比较全面；