Question

一般地，在数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T=a_m对任意正整数m均成立，那么就称{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），如果x₁=1，x₂=a，（a≤1，a≠0），设S₂₀₀₉为其前2009项的和，则当数列{x_n}的周期为3时，S₂₀₀₉=

1339+a

．

Answer 1

分析：首先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期由题意和周期定义知，先求x₃，再前三项和s₃，最后求s₂₀₀₉．

解答：解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=1-a
∴该数列的前3项的和s₃=1+a+（1-a）=2
∵数列{x_n}周期为3，
∴该数列的前2009项的和s₂₀₀₉=s₂₀₀₇+x₁+x₂=

2007

3

s₃+1+a=1339+a，
故答案为1339+a．

点评：本小题主要考查数列具有周期性、数列的前n项和等基础知识，考查运算求解能力，解答关键在于应由题意先求一个周期的和，再求该数列的前n项和s_n．