Question

已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为，．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证．

Answer 1

【答案】分析：（1）由{a_n}是等比数列，公比q＞1，且，a₄=4，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出，q=2，由此能求出a_n，再由a_n能求出b_n．
（2）由b_n=，设c_n=b_nb_n+1==，由此利用裂项求和法求出数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，由此能够证明．
解答：解：（1）∵{a_n}是等比数列，公比q＞1，且，a₄=4，
∴，解得，q=2，
∴=2^n-2．
∴b_n===，
（2）设c_n=b_nb_n+1==，
∴T_n=（1-++…+）
=（1-）
=-，
因为T_n＜T_n+1，所以，n∈N^*．
故．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．