Question

已知以下四个命题：
①如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实根，且x₁＜x₂，那么不等式ax²+bx+c＜0的解集为
{x|x₁＜x＜x₂}；
②“若m＞2，则x²-2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；
③若

x-1

x-2

≤0，则（x-1）（x-2）≤0．
④直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是(1，

5

4

)
其中为真命题的是

 

（填上你认为正确的序号）

Answer 1

分析：根据二次不等式的解法，可以判断①的真假；根据四种命题真假性的关系，可以判断②的正误；由分式不等式的解法，可以判断③的对错；根据函数的奇偶性，可以判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：①当a＞0时，不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}；
当a＜0时，不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜x₁，或x＞x₂}．故①不成立．
②∵若m＞2，则x²-2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x²-2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题，故②成立；
③若

x-1

x-2

≤0，则（x-1）（x-2）≤0且x-2≠0，故③错误；
④y=|x|²-|x|+a是个偶函数，图象关于y轴对称，
当x≥0时，y=x²-x+a，对称轴 x=

1

2

，
在（0，

1

2

），y∈（

a-1

4

，a）
在（

1

2

，+∞），y∈（-∞，

a-1

4

）
由此知当

a-1

4

＜1＜a时，直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点，
解得1＜a＜

5

4

．故④成立．
故答案为：②④．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，命题的否定，函数的周期性及一元二次不等式的解法，直接考查了这些知识的基本应用，属于基础题．