Question

已知函数，R.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存

在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为，.  

① 当时，，∵ ∴，∴ 函数单调递增区间为 

② 当时，令得，即，.

（ⅰ）当，即时，得，故，

∴ 函数的单调递增区间为.                     

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时， 

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴有极大值，其值为，其中.

∵，即， ∴.

设函数，则，

∴在上为增函数，又，则，

∴.  

即，结合解得，∴实数的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．