Question

（2013•深圳二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 的渐近线方程为 y=±

3

x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：根据双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，算出b=

3

a，c=2a．设所求椭圆的方程为

x2

a12

+

y2

b12

=1，则可得a₁=c=2a且椭圆的半焦距c₁=a，由此结合椭圆的离心率公式即可得到本题答案．

解答：解：∵双曲线的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1，∴它的渐近线方程为y=±

b

a

x
由此可得

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
设所求椭圆的方程为

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）
∵椭圆的顶点为双曲线的焦点，焦点为双曲线的顶点
∴a₁=c=2a，且椭圆的半焦距c₁=a
因此，该椭圆的离心率e=

c1

a1

=

a

2a

=

1

2

故选：

1

2

点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求与双曲线顶点焦点互换的椭圆的离心率，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．