Question

设α∈(0，

π

2

)，向量

a

=（cosα，sinα），

b

=(-

1

2

，

3

2

)．
（1）证明：向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直；（2）当|2

a

+

b

|=|

a

-2

b

|时，求角α．

Answer 1

分析：（1）计算|

a

|，|

b

|，通过计算 (

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=0，证明向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（2）将|2

a

+

b

|=|

a

-2

b

|两边平方，平方可得3（|

a

|²-|

b

|²）+8

a

•

b

=0，从而得到以sin(α-

π

6

)=0，然后求角α．

解答：解：（1）证明：由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=(-

1

2

，

3

2

)，
得|

a

|=1，|

b

|=1，则 (

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=0，
所以向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直．…（6分）
（2）将|2

a

+

b

|=|

a

-2

b

|两边平方，化简得3（|

a

|²-|

b

|²）+8

a

•

b

=0，
由|

a

|=|

b

|=1，得

a

•

b

=0，即 -

1

2

cosα+

3

2

sinα=0．
所以sin(α-

π

6

)=0，注意到α∈(0，

π

2

)，得α=

π

6

．（12分）

点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查计算能力．