Question

设数列{a_n}的前n项和S_n．满足S_n=

3

2

(3n-1)，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，依据a_n=S_n-S_n-1，即可得出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意b_n=n•a_n，适合用错位相减法转化求和．

解答： 解：（I）当n=1时，S₁=a₁=3…（1分）
∵S_n=

3

2

(3n-1)①
∴当n≥2时，S_n-1=

3

2

(3n-1-1)②
①-②得an=3n，又a₁=3符合上式，…（5分）
∴an=3n…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=n•3ⁿ．T
∴T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，③…（7分）
∴3T_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④…（8分）
③-④得-2T_n=（3+3²+3³+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹，…（10分）
即2T_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

，
∴T_n=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

．        …（12分）

点评：本题考查等差与等比数列，由和求通项及错位相减法技巧求和，由和求通项时要注意验证n=1时的情况，这是本题的易错点．