Question

在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．
（1）求概率P（X≥7）；
（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）X≥7表示取到2个2号球和1个3号球，或取到1个2号球和2个3号球，或取到1个1号球2个3号球，由此能求出P（X≥7）．
（2）由题设知X的可能取值分别为4，5，6，7，8，分别求出P（X=4），P（X=5），P（X=6），P（X=7），P（X=8）．由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）X≥7表示取到2个2号球和1个3号球，或取到1个2号球和2个3号球，或取到1个1号球2个3号球，
∴P（X≥7）=

C 2 3 •C 1 2

C 3 7

+

C 1 3 • C 2 2

C 3 7

+

C 1 2 • C 2 2

C 3 7

=

11

35

．
（2）由题设知X的可能取值分别为4，5，6，7，8，
P（X=4）=

C 2 2 • C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P（X=5）=

C 1 2 • C 2 3

C 3 7

+

C 2 2 • C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P（X=6）=

C 3 3

C 3 7

+

C 1 2 • C 1 3 • C 1 2

C 3 7

=

13

35

，
P（X=7）=

C 2 3 •C 1 2

C 3 7

+

C 1 2 • C 2 2

C 3 7

=

8

35

，
P（X=8）=

C 1 3 • C 2 2

C 3 7

=

3

35

．
∴X的分布列为：

X	4	5	6	7	8
P	3 35	8 35	13 35	8 35	3 35

∴EX=4×

3

35

+5×

8

35

+6×

13

35

+7×

8

35

+8×

3

35

=6．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．