Question

（2013•淄博一模）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x-2），x-y），记ξ=|

OP

|²．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x，y可能的取值为1、2、3，仅有x=1，y=3或x=3，y=1时随机变量ξ的最大值为5，可得符合题意的基本事件有2个，而总的基本事有件3×3=9种，由古典概型可得概率；
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5，同（1）的求法分别可求得概率，列表可得分布列，由期望的定义可得期望值．

解答：解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）²+（x-y）²≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=

2

9

；
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=

1

9

，P（ξ=1）=

4

9

，P（ξ=2）=

2

9

，
故随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

因此数学期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2

点评：本题考查离散型随机变量及分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．