Question

12．已知f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≥7；
（2）若关于x的不等式f（x）＞2a²-a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥7的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，再根据2a²-a＜3 求得a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≥7，即|x+2|+|x-1|≥7．
由于|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，而-4和3对应点到-2、1对应点的距离之和正好等于7，
故f（x）≥5的解集是（-∞，-4]∪[3，+∞）．
（2）因为|x+2|+|x-1|≥|x-1-（x+2）|=3，所以f（x）的最小值为3．
要使得关于x的不等式f（x）＞2a²-a对任意的x∈R恒成立，只需2a²-a＜3，
解得-1＜a＜$\frac{3}{2}$，故a的取值范围是（-1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．