Question

2．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（-1，$\sqrt{3}$）．
（1）求圆的方程；
（2）若直线l₁：x-$\sqrt{3}$y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；
（3）求直线l₂：x-$\sqrt{3}y+2\sqrt{3}$=0被此圆截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由已知得圆心为（0，0），由两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
（2）由已知得l₁与圆相切，由圆心（0，0）到l₁的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式能求出b．
（3）先求出圆心（0，0）到l₂的距离d，所截弦长l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，由此能求出弦长．

解答 解：（1）∵圆的圆心为坐标原点，且经过点（-1，$\sqrt{3}$），
∴圆心为（0，0），半径r=$\sqrt{（0+1）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴圆的方程为x²+y²=4．…（4分）
（2）∵直线l₁：x-$\sqrt{3}$y+b=0与此圆有且只有一个公共点，
∴l₁与圆相切，则圆心（0，0）到l₁的距离等于半径2，即$\frac{|b|}{\sqrt{1+3}}$=2，
解得b=±4．…（8分）
（3）∵直线l₂：x-$\sqrt{3}y+2\sqrt{3}$=0与圆x²+y²=4相交，
圆心（0，0）到l₂的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴所截弦长l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2．…（14分）

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．