Question

12．如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半径为2，EC=1，求DE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，从而OD∥AE，由此能证明DE是圆O的切线．
（2）连结BC，由已知得AC=2，AE=EC+CA=3，由此利用圆的切割线定理能求出DE的值．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，
∴∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE，…（3分）
又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，
∴DE是圆O的切线．…（5分）
（2）解：连结BC，在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，
∴AC=ABcos60°=2…（7分）
又∵EC=1，∴AE=EC+CA=3，
由圆的切割线定理得：
DE²=CE•EA=3，∴$DE=\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切割线定理的合理运用．