Question

17．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足$f（\frac{x_1}{x_2}）=f（{x_1}）-f（{x_2}）$，且当x＞1时，f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并予以证明；
（Ⅲ）若f（3）=-1，解不等式f（x²）＞-2．

Answer 1

分析 （1）由条件令x₁=x₂，则f（1）=0；（2）由单调性定义，设0＜x₂＜x₁，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，由x＞1时，f（x）＜0，即有f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，即可求得单调性（3）关键函数的单调性结合f（x²）＞f（9），得到关于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂＞0，代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，故f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则$\frac{x_1}{x_2}＞1$，由于当x＞1时，f（x）＜0，
所以$f（\frac{x_1}{x_2}）＜0$，即f（x₁）-f（x₂）＜0，因此f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由$f（\frac{x_1}{x_2}）=f（{x_1}）-f（{x_2}）$得$f（\frac{9}{3}）=f（9）-f（3）$，而f（3）=-1，所以f（9）=-2．
由函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数，且f（x²）＞f（9），
得0＜x²＜9，∴-3＜x＜0或0＜x＜3，因此不等式的解集为（-3，0）∪（0，3）．

点评 本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及其应用，注意运用定义，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．