Question

4．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是C₁D的中点，P是棱CC₁所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD⊥PE
②EF∥平面ABC₁
③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$
④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是①③（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 根据标榜的结构特征，结合线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角等知识点，分别判断4个结论的真假，可得答案．

解答 解：在①中：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是C₁D的中点，P是棱CC₁所在直线上的动点，
∴CD⊥平面ECC₁，又PE?平面ECC₁，∴CD⊥PE，故①正确；
在②中：EF?平面EC₁D，延长C₁E与B₁B交于H，连接DH，得DH平行于EF，
DH与平面ABC₁相交，故②EF∥平面ABC₁不正确；
在③中：${V}_{P-{A}_{1}D{D}_{1}}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，${V}_{{D}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，
故③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$正确；
在④中：过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线，
则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故④不正确；
故正确命题的序号为：①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角，是立体几何知识的综合考查，是中档题．