Question

如图，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成的角为30°．
（Ⅰ）证明BC⊥PQ；
（Ⅱ）求二面角B-AC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB，欲证PQ⊥BC，即证PQ⊥平面OBC，因BO⊥PQ．又CO⊥PQ且BO∩CO=O，根据线面垂直的判定定理可证PQ⊥平面OBC；
（2）过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角，然后在Rt△BOH中解出此角即可．

解答：解：（I）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．
因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，
又因为CA=CB，所以OA=OB．
而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．又CO⊥PQ，
所以PQ⊥平面OBC．因为BC?平面OBC，故PQ⊥BC．
（II）由（I）知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，所以BO⊥β．
过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
由（I）知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，
不妨设AC=2，则AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=

BO

OH

=

3

3 2

=2．
故二面角B-AC-P的大小为arctan2．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．