Question

圆c：x²+（y-1）²=1和圆c₁：（x-2）²+（y-1）²=1，现构造一系列的圆c₂，c₃，…，c_n，…，使圆c_n+1同时与圆c_n和圆c相切，并且都与x轴相切．
①写出圆c_n-1的半径r_n-1与圆c_n的半径r_n之间关系式，并求出圆c_n的半径；
②（理科做）设两个相邻圆c_n和c_n+1的外公切线长为l_n，求．
（文科做）求l₁+l₂+…+l_n．

Answer 1

解：（1）由题意，c₁（2，1），r₁=1，设c_n（x_n，r_n），c_n-1（x_n-1，r_n-1），则有，，即∴，从而有；
（2）（理科）由（1）知，，∴，
∴，∴．
（文科）由（1）知，，∴，
∴，
分析：（1）圆c_n+1同时与圆c_n和圆c相切，并且都与x轴相切，故可得出两个方程，化简可得圆c_n-1的半径r_n-1与圆c_n的半径r_n之间关系式，从而求出圆c_n的半径；
（2）由（1）知圆心坐标，再求外公切线长，利用裂项法可求和．
点评：本题主要考查圆与圆相切，应充分利用两圆外切的条件，进行等价变形，对于求和利用裂项法．