Question

已知直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x²+（y-1）²=5交于A、B两点；
（Ⅰ）若|AB|=

17

，求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）圆C上是否存在一点P使得△ABP为等边三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|AB|=

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，圆心到直线的距离，半径满足勾股定理，求出m的值，即可求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）设出动点坐标，利用垂直关系，数量积为0，直接求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）通过由△ABP是等边三角形，其外接圆与内切圆的圆心相同，通过外接圆半径，内切圆半径r等于圆心到直线AB的距离，推出r=

R

2

，方程无解，则不存在否则存在．

解答：解：（Ⅰ）圆心C（0，1）到直线的距离d=

|m|

1+m2

，
所以|AB|=2

R2-d2

=2

5- m2 1+m2

=

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，解得m=±

3

，
所以，倾角α=

π

3

或

2π

3

；…（4分）
（Ⅱ）直线l过定点N（1，1），设动点M（x，y），则

CM

⊥

NM

，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化简得(x-

1

2

)2+(y-1)2=

1

4

；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假设存在符合条件的P点，则由△ABP是等边三角形知，
其外接圆与内切圆的圆心均C（0，1），外接圆半径R=

5

，
内切圆半径r等于圆心（0，1）到直线AB的距离d=

|m|

1+m2

，
又由等边三角形的性质得r=

R

2

，所以有

|m|

1+m2

=

5

2

，⇒

m2

1+m2

=

5

4

，m无解，故不存在这样的点P．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程分求法，点到直线的距离公式的应用，直线的倾斜角的求法，考查计算能力，转化思想．