Question

已知两点P(－2，2)、Q(0，2)以及一条直线l:y=x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.

Answer 1

解:∵线段AB在直线l:y=x上，且线段AB的长为,

∴设M(x，y)，A(t，t)，B(t＋1，t＋1)(t为参数)，则

直线PA的方程为y－2=(x＋2)(t≠－2),                                                             ①

直线QB的方程为y－2=x(t≠－1).                                                                     ②

∵M(x，y)是直线PA、QB的交点,

∴x、y是由①、②组成的方程组的解,由①、②消去参数t，得x²－y²＋2x－2y＋8=0. ③

当t=－2时，PA的方程为x=－2，QB的方程为3x－y＋2=0，此时的交点为M(－2，－4).

当t=－1时，QB的方程为x=0，PA的方程为3x＋y＋4=0，

此时的交点为M(0，－4).

经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③.

故点M的轨迹方程为x²－y²＋2x－2y＋8=0.

点评:若不设参数,利用弦长公式来具体表示|AB|=,计算烦琐,不可取.应注意在变形过程中对参数的限制,做到过程中限之有理,答案准确无误.

弦长的巧妙转化、参数的设置与消去、特殊点的舍与补、交点的应用都体现了数形结合、等价转化等数学思想方法.